微积分：利用外代数进行换元

利用外代数的换元，提供了理解雅可比行列式的另一个视角。

直观上可以将外代数 $dx \wedge dy$ 认为是两个向量 $\vec{dx} \times \vec{dy}$，两者均具有反对称性（$dx \wedge dx = 0$），且都可以理解为两个向量构成的平行四边形的有向面积。

二重积分中使用外代数进行换元

使用条件：一个可能的 $(u,v)$ 临域仅对应一个 $(x,y)$ 临域。

$$ \begin{aligned} \int\int dxdy &= \int\int |dx \wedge dy| \\ &= \int\int \left| \left( \frac{\partial x}{\partial u}du + \frac{\partial x}{\partial v}dv \right) \wedge \left( \frac{\partial y}{\partial u}du + \frac{\partial y}{\partial v}dv \right) \right| \\ &= \int\int \left| \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} \,du\wedge dv + \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u} \,dv\wedge du \right| \\ &= \int\int \left| \left( \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u} \right) du\wedge dv \right| \\ &= \int\int \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| \,|du\wedge dv| \\ &= \int\int \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| \,dudv. \end{aligned} $$

一个可能的 $(u,v)$ 临域对应多个 $(x,y)$ 临域，那么需要修正为：

$$ \begin{aligned} \int\int dxdy &= \sum_{所有可能的(x,y)} \int\int \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| \,dudv. \end{aligned} $$

举例来说：

$u=x^2$，$v=2y$ 这个变换就需要使用修正的公式。

一维连续型随机变量进行换元

使用条件：一个可能的 $u$ 对应一个 $x$。

$$ \begin{aligned} \int f_x(x)dx &= \int f_x(x(u))du\frac{dx}{du} \\ &= \int f_x(x(u))x'(u)du \\ &= \int f_u(u)du \end{aligned} $$

所以在 $x$ 的任一临域对应的 $u$ 的临域内，

$$ f_u(u) = f_x(x(u))x'(u) $$

很多情况下，随机变量的关系不会是 “一个可能的 $u$ 对应一个 $x$” 这么简单，这时需要对结论进行修正：

$$ f_u(u) = \sum_{所有可能的 x} f_x(x(u))x'(u) $$

举例来说，

对于 $Y=X^2$，这里的随机变量 $Y$ 就需要使用修正的变换公式来推导，或者使用 $P\{Y<=y\}=P\{X^2<=y\}=F_x(\sqrt{y})-F_x(-\sqrt{y})$ 来通过累计分布函数进行计算。

该结论不适用于离散型随机变量的换元。